偉大的數(shù)學家們是在多大的時候改變的世界？
英國數(shù)學家戈弗雷?哈羅德?哈代 (G.H. Hardy) 有一句名言："... 比起其他藝術(shù)或者科學，數(shù)學更像一個年輕人的游戲。”這里，他對" 年輕人 " 的理解有多正確呢？
誠然，證明一個數(shù)學定理需要大量的創(chuàng)造力、重新認識問題的能力，還要用其他人沒有想到的方式來進行思考。
但，它也需要大量的經(jīng)驗和知識儲備。畢竟，如果不理解一個問題，你也就無法證明它。很多未經(jīng)證實的猜想都建立在一座概念堆積的山峰之上，登頂往往需要數(shù)年。
基于維基百科，我列出了 1501~2015 年數(shù)學發(fā)展的時間線，追溯了 250 件數(shù)學領(lǐng)域的大事：定理的新證明、重要工作的發(fā)布，或者核心數(shù)學概念的萌芽。
以下是其中的一些事件：
1540 年，18 歲的洛多維科?費拉里 (Lodovico Ferrari) 解出了四次方程。
1799 年，22 歲的卡爾?弗里德里希?高斯 (Carl Friedrich Gauss) 證明了代數(shù)的基本定理（每個多項式方程在復(fù)數(shù)中都有一個解）。
1925 年，24 歲的維爾納?海森堡 (Werner Heisenberg) 和約爾當 (Jordan)、 玻恩 (Born) 建立了量子力學的矩陣表示。
2004 年，29 歲的陶哲軒 (Terence Tao) 和本?格林 (Ben Green) 證明了格林-陶定理 (Green–Tao theorem)。
1522 年，30 歲的亞當?里斯 (Adam Ries) 解釋了阿拉伯數(shù)字的使用及其相對于羅馬數(shù)字的優(yōu)勢。
2003 年，37 歲的格里高利?佩雷爾曼 (Grigori Perelman) 證明了龐加萊猜想。
1994 年，41 歲的安德魯?懷爾斯 (Andrew Wiles) 證明了谷山志村猜想的一部分，從而證明了費馬大定理。
1929 年，47 歲的艾米?諾特 (Emmy Noether) 首次引入了群和代數(shù)的通用的表示理論。
2013 年，58 歲的張益唐證明了存在無窮多對間隙為有限的質(zhì)數(shù)。
1618 年，68 歲的約翰?納皮爾 (John Napier) 在一部關(guān)于對數(shù)的著作中首次提到了自然對數(shù)的底數(shù) e。
偉大數(shù)學家們的年齡
數(shù)據(jù)匯總：
? 他們的平均年齡為 37 歲；
? 年齡的中位數(shù)略低，為 35 歲；
? 數(shù)學大事記中 25 % 的數(shù)學家們在他們 30 歲以下做出了重要的數(shù)學成果；
? 42 % 的數(shù)學家在 30-39 歲之間做出了重要的成果；
? 33 % 的數(shù)學家在 40 歲或者以上做出了重要的成果；
? 其中最小的年齡是 18 歲，1540 年洛多維科?費拉里 (Lodovico Ferrari) 推導出了四次方程的一般解；
? 最大的是 73 歲，1825 年阿德里安-馬里?勒讓德 (Adrien-Marie Legendre) 和約翰?彼得?古斯塔夫?勒熱納?狄利克雷 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) 一起證明了對于 n=5 情況下的費馬大定理。
從 20 歲到 70 歲
我做了一個交互式的圖表《偉大的數(shù)學家時代》，讀者可以點擊這里或下圖來獲取詳細的信息（使用滑塊來調(diào)查各個年齡段的數(shù)學家們的成就）。其中有一些亮點值得注意：
在 20 歲到 29 歲之間
1832 年，法國數(shù)學家埃瓦里斯特?伽羅瓦 (évariste Galois) 在他 21 歲時提出了代數(shù)方程可解性的一般條件，因此基本建立了群論和伽羅瓦理論，他也是第一個使用“群”這一個數(shù)學術(shù)語來表示一組置換的人，與尼爾斯?阿貝爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人。但充滿悲劇和傳奇色彩的是，在他提出這些理論不久，就在一場決斗中被殺。
1913 年，年僅 26 歲的印度數(shù)學家斯里尼瓦瑟?拉馬努金 (Srinivasa Ramanujan) 給哈代寫了一封信，信上是一長串沒有證明的定理，在信里，拉馬努金同時懇請哈代幫他擺脫貧困的現(xiàn)狀。當然，拉馬努金在信中的發(fā)現(xiàn)一定早于他 26 歲之前。
在 30 歲到 39 歲之間
2008 年，伊朗德黑蘭數(shù)學家瑪麗安?米爾札哈尼在她 31 歲時證明了一個長期以來沒有解決的猜想：威廉?瑟斯頓 (William Thurston) 提出，泰希米勒空間 (Teichmüller) 上的地震流 (Earthquake map flow) 都是遍歷系統(tǒng)。六年后，她被授予菲爾茲獎，以表彰她 "對黎曼曲面及其?？臻g下的動力學和幾何學的杰出貢獻"。2017 年 7 月 14 日，米爾札哈尼因乳腺癌去世，終年 40 歲。
1837 年，32 歲的德國數(shù)學家約翰?彼得?古斯塔夫?勒熱納?狄利克雷 (Gustav Lejeune Dirichlet) 在一篇關(guān)于給定算術(shù)級數(shù)中存在素數(shù)的論文中發(fā)展了解析數(shù)論。這是狄利克雷在數(shù)學時間線上的第四個工作，前三件工作分別在他 20 歲，27 歲和 32 歲時發(fā)生。
1915 年。36 歲的理論物理學家阿爾伯特?愛因斯發(fā)表了他的廣義相對論，十年前，他的狹義相對論發(fā)表，當時他還是瑞士專利局的職員。
在 40 歲到 49 歲之間
1993 年，在秘密研究費馬大定理幾年之后，40 歲的安德魯?懷爾斯 (Andrew Wiles) 宣布證明了費馬大定理。眾所周知，在審查的過程中，該證明中存在錯誤，但在次年，該錯誤被糾正。懷爾斯在 46 歲時擴展了他的工作，完成了谷山志村 (Taniyama Shimura) 全部的猜想。
1918 年，41 歲的戈弗雷?哈羅德?哈代 (G.H. Hardy) 和斯里尼瓦瑟?拉馬努金 (Srinivasa Ramanujan) 一起為分割函數(shù)開發(fā)了一個漸近公式。也許他與年輕的創(chuàng)意天才拉馬努金的合作是他哀嘆數(shù)學是 "年輕人的游戲" 的原因之一。
50 歲以上
2013 年，美籍華裔數(shù)學家張益唐首次證明了存在無窮多對間隙為有限的質(zhì)數(shù)，從而在孿生素數(shù)猜想這一數(shù)論難題上取得質(zhì)的突破。1991 年張益唐獲得博士學位之后未拿到導師的推薦信，學術(shù)道路坎坷，有段時間靠打雜來糊口過日，曾經(jīng)做過幾年會計師，在地鐵的快餐店打過工。（來源）
1722 年，法國數(shù)學家亞伯拉罕?棣莫弗 (Abraham de Moivre) 將復(fù)數(shù)和三角學聯(lián)系起來，提出了棣莫弗公式；66 歲時，引入了正態(tài)分布來近似二項分布。
關(guān)于這位年邁的數(shù)學家，有一則幽默軼事：
人們常說，一直對數(shù)列感興趣的棣莫弗曾經(jīng)預(yù)言，他每天需要比前一天多睡 15 分鐘，當睡眠總數(shù)達到 24 小時的時候，他就會死亡，這個時間是 1754 年 11 月 27 日，這也正是他死亡的時間。（來源）
數(shù)據(jù)和方法
大部分數(shù)據(jù)是從維基百科上的數(shù)學時間線獲得的，從 "現(xiàn)代"(16 世紀) 開始。如果能從古希臘時代的阿基米德 (Archimedes) 和希帕蒂婭 (Hypatia) 開始，那就太好了，但歷史記錄不夠精確，所以這里從“現(xiàn)代”開始。
我還用其他一些著名的結(jié)果擴充了維基百科時間軸上提供的數(shù)據(jù)，例如愛因斯坦，玻爾和海森堡等數(shù)學物理學家的工作。
令人驚訝的是，最近數(shù)學界的一些的大事件也存在一些數(shù)據(jù)收集問題。我想包括黃浩（Hao Huang，音譯）2019 年對布爾函數(shù)的靈敏度猜想的證明，但我找不到他的出生日期。從他的教育經(jīng)歷推斷，他可能已經(jīng) 30 多歲了。
同樣，我想把瓊?泰勒 (Joan Taylor) 包括在內(nèi)，她是一位業(yè)余數(shù)學家，與約書亞?索科拉爾 (Joshua Socolar) 一起發(fā)現(xiàn)了索科拉爾-泰勒 (Socolar-Taylor) 瓷磚拼貼，解決了羅杰?彭羅斯 (Roger Penrose) 提出的問題。但我找不到她的出生日期，但在她的網(wǎng)站上，她說她從 1990 年開始思考這個問題，比 2011 年發(fā)表的結(jié)果早了 20 年。
最后的思考
從統(tǒng)計數(shù)據(jù)來看，雖然大多數(shù)令人矚目的成就是數(shù)學家們在 20 至 40 歲之間取得的，但這個年齡范圍仍然很廣。隨著年齡的增大，數(shù)學家們傾向于書籍和概要類型的成果，當然，仍然有一些老數(shù)學家們做出的突破性創(chuàng)新證明的例子。
每個數(shù)學家的故事都是不同的。這其中，有英年早逝的神童，有覆蓋各個領(lǐng)域的多產(chǎn)博學者，還有堅持鉆研一個問題 20 年的人。
對于我們這些業(yè)余數(shù)學愛好者來說，我們也許并不想改變世界，而只是樂于了解它，知道我們的大腦一直在思考，可以繼續(xù)享受數(shù)學帶來的快樂，這一點就足以令人開心了。